MÜKEMMEL SAYI

Bir sayının kendisi hariç tüm pozitif çarpanlarının toplamının(1 dahil) sayının kendisini vermesi durumudur. pisagorcular tarafından uydurulmuştur. neye göre kime göre mükemmel sayı denebilir fakat matematikte önemlidir. isterseniz heba sayı deyin hiç fark etmez. tek mükemmel sayı var midir yok mudur ispatsızdır. ilk mükemmel 6 sora 28dir. garip özellikleri vardır bun narin. çarpanlarının terslerini toplarsanız hep 2 verir, ispatlıdır. 1/2+1/4+1/1+1/7+1/14+1/28=2'dir mesela. ayrıca her mükemmel sayıya bir mersenne asalı karşılık getirilebilir. mersenne asallarının ve mükemmel sayıların sonsuz tane olup olmadığı bilinmemektedir.

 

"x mükemmel sayısının çarpanlarının (x ve 1 dahil) çarpmaya göre terslerinin toplamı 2 eder" ispatini da verelim bari:
x'in çarpanları { 1,x1,x2,...,xn,x | 1<x1<x2<..<xn<x } olsun..
1*x = x1*xn = x2*x(n-1) = .. = x (çarpanları sıraladıydık)
1 + x1 + x2 + .. + xn + x = 2x (mükemmel sayı özelliği)
iki tarafı x'e bölersek
1/x + x1/x + x2/x + .. + xn/x + 1 = 2
ama çarpanların ikili ikili çarpımlarının x olmasından dolayı
1/x + 1/xn + 1/x(n-1) + .. 1/x1 + 1 = 2

 

[(2^k)-1] bir asal sayı ise, [2^(k-1)] * [(2^k)-1] bir mükemmel sayıdır.
örneğin:
2^2-1=3 asal olduğu için 2*3=6 ,
2^3-1=7 asal olduğu için 4*7=28,
2^5-1=31 asal olduğu için 16*31=496,
2^7-1=127 asal olduğu için 64*127=8128 hep mükemmel sayılardır.

Yorum Yaz
Arkadaşların Burada !
Arkadaşların Burada !